Sonlu Elemanlar Yöntemi — Kutlu Darılmaz

ÖNSÖZ Sonlu elemanlar yöntemi mu hendislik alanında karmaşık problemlerin çözu mlenmesinde kullanılan en yaygın analiz yöntemidir Elinizdeki bu kitapta sonlu elemanlar yönteminin SEY yapı mu hendisliği alanındaki uygulamalarına yönelik temel ilkeler açıklanmış farklı yapısal elemanların analizinde SEY nin nasıl kullanıldığı örnek problemler ve çözu m yöntemleri ile detaylı bir şekilde ele alınmıştır Sonlu elemanlar yöntemi bilgisayar yazılımları kullanımı gerektirdiğinden kitaptaki örneklerin birçoğu gu nu mu zde yaygın olarak kullanılan SAP2000 ANSYS gibi yazılımlar ile çözu lmu ştu r Ayrıca bilgisayar yazılımlarının sonlu elemanlar yöntemini nasıl uyguladığının anlaşılması için kitapta kullanılan sonlu elemanların formu lasyonu Python programlama dili ile geliştirilmiş özel kodlar şeklinde verilmiştir Kitapta verilen Python program kodları anlaşılırlığı artırmak için optimize edilmeden olabildiğince açık olarak verilmiştir Yazar İTÜ de sonlu elemanlar yönteminin öğretilmesinde ve geliştirilmesinde bu yu k emek harcayan değerli akademisyenlerin rolu nu takdirle anmaktan onur duymaktadır İTÜ de bu alandaki çalışmalar du nyadaki sonlu elemanlar yöntemi gelişimine paralel ilerlemiştir Prof Dr Adnan Çakıroğlu Prof Dr Nahit Kumbasar Prof Dr Kemal Özden Prof Dr Yalçın Aköz bu alanda öncu çalışmalarda bulunmuştur Sonrasında Prof Dr Ahmet Işın Saygun Prof Dr Metin Aydoğan Prof Dr Mehmet Omurtag bu alandaki çalışmalara gerek yayınlarıyla gerekse verdikleri derslerle katkıda bulunmuştur Alanlarında derin bilgi birikimine sahip bu değerli öğretim u yeleri yalnızca teorik bilgiyi aktarmakla kalmayıp aynı zamanda yenilikçi du şu nce ve analitik çözu mleme becerilerini kazandırarak mu hendislik eğitimine katkılarda bulunmuşlardır Onların özverili çalışmaları sonlu elemanlar yönteminin u lkemizde ilerlemesinde önemli bir rol oynamıştır İTÜ deki bu misyon gu nu mu zde sonlu elemanlar yönteminin Prof Dr Tu lay Aksu Özkul Prof Dr Nihal Eratlı Doç Dr Ülku Hu lya Çalık Karaköse Doç Dr Murat Yılmaz tarafından lisans ve yu ksek lisans dersleri olarak verilmesi şeklinde başarılı şekilde devam ettirilmektedir Kitap yazım ve çizim işlerinin tamamı yazar tarafından yapılarak yoğun bir çalışma su reci sonucu oluşturulmuştur Bunu göz önu ne alarak okuyucuların olası eksiklikleri hoşgöru ile karşılayacağı u mit edilmektedir Okuyucuların yazara iletecekleri her tu rlu eleştiri ve göru ş yazar tarafından memnuniyetle karşılanacak ve ileriki baskılar için önemli katkılar olarak değerlendirilecektir Yazar kitabın yazımı su recinde göru şlerine başvurduğu Prof Dr Engin Orakdöğen Prof Dr Konuralp Girgin Doç Dr Cu neyt Vatansever Dr Yavuz Durgun ve Dr Gu nhan Aksoylu ya teşekku rlerini sunmaktadır Yazar kitabın konu ile ilgilenen öğrencilerin ve uygulamadaki mu hendislerin bilgi birikimlerine katkı sağlayacak bir kaynak olmasını umut etmektedir Kutlu Darılmaz İstanbul 2025 İÇİNDEKİLER 1 Giriş 1 1 1 Giriş 1 1 2 Yöntemin Uygulanmasında İzlenen Adımlar 2 1 3 Yöntemin Uygulanması İçin Gerekli Ön Bilgiler 2 1 4 Sonlu Eleman Tu rleri 3 1 5 Eleman Karakteristik Matrisi 5 1 5 1 Doğrudan Yöntem Direkt Yöntem 6 1 6 Alan Değişkenleri 14 1 7 İnterpolasyon fonksiyonları Şekil Fonksiyonları 14 1 8 Genel koordinatlar ve doğal koordinatlar 18 2 Genel Kavramlar 21 2 1 Gerilmeler ve Denge 21 2 2 Sınır koşulları 23 2 3 Şekil Değiştirme Yer Değiştirme Bağıntıları 24 2 4 Gerilme Şekil değiştirme bağıntıları 26 2 4 1 Du zlem Gerilme Durumu 28 2 4 2 Du zlem Şekil değiştirme Durumu 29 2 5 Toplam Potansiyel Enerji İlkesi 30 2 5 1 Potansiyel Enerji 30 2 6 RayleighRitz Yöntemi 35 3 Çubuk Elemanlar 38 3 1 Basit tek boyutlu çubuk eleman 38 3 1 1 Doğrusal Eleman 38 3 1 2 Yu k matrisi 43 3 2 Du zlem Kafes Çubuk 54 3 3 Uzay Kafes Sistemler 77 3 4 Du zlem Kiriş Eleman 78 3 4 1 Yu k Matrisi 83 3 5 Du zlem çubuk eleman 88 3 6 Üç Boyutlu Uzay Çubuk Eleman 105 4 İki Boyutlu Elemanlar 132 4 1 Giriş 132 4 2 Sabit Şekil değiştirme Üçgen Elemanı CST Constant Strain Element 132 4 2 1 İlgili Matrislerin Doğal Eksenlerde Elde Edilmesi 150 4 3 Dikdörtgen Du zlem Eleman İki doğrultuda doğrusal dikdörtgen Q4 163 4 4 İzoparametrik Formu lasyon ile Genel ekilli Dörtgen Du zlem Eleman 173 4 4 1 Hacim kuvveti 180 4 4 2 Yu zey kuvvetleri 180 4 5 Sayısal İntegral 181 4 5 1 Gauss kareleme yöntemi 182 4 5 2 Sabit Şekil değiştirme Üçgen Elemanı ile Genel Şekilli Dörtgen Eleman Karşılaştırması 202 5 Plak Eleman 204 5 1 Plak eleman 204 5 2 Kirchoff plak teorisi varsayımları 204 5 3 Gerilme Şekil değiştirme ilişkisi 206 5 4 Plağın Potansiyel Enerjisi 208 5 5 Yu k vektöru 217 6 Üç Boyutlu Elemanlar 239 6 1 Giriş 239 6 2 Dört Noktalı Dört Yu zlu Eleman 239 6 3 Yu k matrisi 244 6 4 İzoparametrik Formu lasyon 261 6 5 8 Noktalı Eleman 265 7 Eksenel Simetrik Eleman 292 7 1 Eksenel Simetrik Üçgen Eleman 292 8 Yu ksek Dereceden Elemanlar 304 8 1 Giriş 304 8 2 İkinci Dereceden Tek Boyutlu Çubuk Eleman 304 8 3 Altı du ğu m noktalı u çgen eleman 307 8 4 Sekiz Du ğu m Noktalı Dörtgen Eleman 308 8 5 20 Du ğu m Noktalı Eleman 310 9 Matris İşlemleri ve Lineer Cebir 312 9 1 Giriş 312 9 2 Matrisler 312 9 3 Vektörler 312 9 4 Özel Matrisler 313 9 4 1 Kare matris 313 9 4 2 Köşegen Matris 313 9 4 3 Birim Matris 313 9 4 4 Simetrik Matris 313 9 4 5 Antimetrik Matris 314 9 4 6 Üst Üçgen Matris 314 9 4 7 Alt Üçgen Matris 314 9 4 8 Bant Matris 314 9 5 Matris İşlemleri 315 9 5 1 Toplama ve Çıkarma İşlemi 315 9 5 2 Matrisin bir sayı ile çarpılması 316 9 5 3 Matris Çarpımı 317 9 5 4 Matrisin Devriği Tranpozesi 318 9 5 5 Matris Tersi 319 9 5 6 İntegrasyon ve Tu rev 322 9 6 Sonlu elemanlar yönteminde matris kullanımı 323 9 7 Matris ve determinantların özellikleri 323 9 7 1 Determinantın özellikleri 324 9 8 Gauss İndirgeme Yöntemi 325 9 9 LU Yöntemi 332 10 Veri Dosyası Aktarımı 336 10 1 Giriş 336 10 2 SAP2000 Programına aktarım 336 10 3 ANSYS programına aktarım 337

Sonlu Elemanlar Yöntemi Kutlu Darılmaz YÖNTEMİN UYGULANMASINDA İZLENEN ADIMLAR SONLU ELEMAN TÜRLERİ ALAN DEĞİŞKENLERİ POTANSİYEL ENERJİ ÇUBUK ELEMANLAR İKİ BOYUTLU ELEMANLAR PLAK ELEMAN ÜÇ BOYUTLU ELEMANLAR EKSENEL SİMETRİK ELEMAN MATRİS İŞLEMLERİ VE LİNEER CEBİR VERİ DOSYASI AKTARIMI

Sonlu elemanlar yöntemi mühendislik alanında karmaşık problemlerin çözümlenmesinde kullanılan en yaygın analiz yöntemidir Elinizdeki bu kitapta sonlu elemanlar yönteminin SEY yapı mühendisliği alanındaki uygulamalarına yönelik temel ilkeler açıklanmış farklı yapısal elemanların analizinde SEY nin nasıl kullanıldığı örnek problemler ve çözüm yöntemleri ile detaylı bir şekilde ele alınmıştır Sonlu elemanlar yöntemi bilgisayar yazılımları kullanımı gerektirdiğinden kitaptaki örneklerin birçoğu günümüzde yaygın olarak kullanılan SAP2000 ANSYS gibi yazılımlar ile çözülmüştür Ayrıca bilgisayar yazılımlarının sonlu elemanlar yöntemini nasıl uyguladığının anlaşılması için kitapta kullanılan sonlu elemanların formülasyonu Python programlama dili ile geliştirilmiş özel kodlar şeklinde verilmiştir Kitapta verilen Python program kodları anlaşılırlığı artırmak için optimize edilmeden olabildiğince açık olarak verilmiştir Yazar İTÜ de sonlu elemanlar yönteminin öğretilmesinde ve geliştirilmesinde büyük emek harcayan değerli akademisyenlerin rolünü takdirle anmaktan onur duymaktadır İTÜ de bu alandaki çalışmalar dünyadaki sonlu elemanlar yöntemi gelişimine paralel ilerlemiştir Prof Dr Adnan Çakıroğlu Prof Dr Nahit Kumbasar Prof Dr Kemal Özden Prof Dr Yalçın Aköz bu alanda öncü çalışmalarda bulunmuştur Sonrasında Prof Dr Ahmet Işın Saygun Prof Dr Metin Aydoğan Prof Dr Mehmet Omurtag bu alandaki çalışmalara gerek yayınlarıyla gerekse verdikleri derslerle katkıda bulunmuştur Alanlarında derin bilgi birikimine sahip bu değerli öğretim üyeleri yalnızca teorik bilgiyi aktarmakla kalmayıp aynı zamanda yenilikçi düşünce ve analitik çözümleme becerilerini kazandırarak mühendislik eğitimine katkılarda bulunmuşlardır Onların özverili çalışmaları sonlu elemanlar yönteminin ülkemizde ilerlemesinde önemli bir rol oynamıştır İTÜ deki bu misyon günümüzde sonlu elemanlar yönteminin Prof Dr Tülay Aksu Özkul Prof Dr Nihal Eratlı Doç Dr Ülkü Hülya Çalık Karaköse Doç Dr Murat Yılmaz tarafından lisans ve yüksek lisans dersleri olarak verilmesi şeklinde başarılı şekilde devam ettirilmektedir Kitap yazım ve çizim işlerinin tamamı yazar tarafından yapılarak yoğun bir çalışma süreci sonucu oluşturulmuştur Bunu göz önüne alarak okuyucuların olası eksiklikleri hoşgörü ile karşılayacağı ümit edilmektedir Okuyucuların yazara iletecekleri her türlü eleştiri ve görüş yazar tarafından memnuniyetle karşılanacak ve ileriki baskılar için önemli katkılar olarak değerlendirilecektir Yazar kitabın yazımı sürecinde görüşlerine başvurduğu Prof Dr Engin Orakdöğen Prof Dr Konuralp Girgin Doç Dr Cüneyt Vatansever Dr Yavuz Durgun ve Dr Günhan Aksoylu ya teşekkürlerini sunmaktadır Yazar kitabın konu ile ilgilenen öğrencilerin ve uygulamadaki mühendislerin bilgi birikimlerine katkı sağlayacak bir kaynak olmasını umut etmektedir Kutlu Darılmaz İstanbul 2025

Sonlu elemanlar yöntemi mühendislik alanında karmaşık problemlerin çözümlenmesinde kullanılan en yaygın analiz yöntemidir Elinizdeki bu kitapta sonlu elemanlar yönteminin SEY yapı mühendisliği alanındaki uygulamalarına yönelik temel ilkeler açıklanmış farklı yapısal elemanların analizinde SEY nin nasıl kullanıldığı örnek problemler ve çözüm yöntemleri ile detaylı bir şekilde ele alınmıştır Sonlu elemanlar yöntemi bilgisayar yazılımları kullanımı gerektirdiğinden kitaptaki örneklerin birçoğu günümüzde yaygın olarak kullanılan SAP2000 ANSYS gibi yazılımlar ile çözülmüştür Ayrıca bilgisayar yazılımlarının sonlu elemanlar yöntemini nasıl uyguladığının anlaşılması için kitapta kullanılan sonlu elemanların formülasyonu Python programlama dili ile geliştirilmiş özel kodlar şeklinde verilmiştir Kitapta verilen Python program kodları anlaşılırlığı artırmak için optimize edilmeden olabildiğince açık olarak verilmiştir Yazar İTÜ de sonlu elemanlar yönteminin öğretilmesinde ve geliştirilmesinde büyük emek harcayan değerli akademisyenlerin rolünü takdirle anmaktan onur duymaktadır İTÜ de bu alandaki çalışmalar dünyadaki sonlu elemanlar yöntemi gelişimine paralel ilerlemiştir Prof Dr Adnan Çakıroğlu Prof Dr Nahit Kumbasar Prof Dr Kemal Özden Prof Dr Yalçın Aköz bu alanda öncü çalışmalarda bulunmuştur Sonrasında Prof Dr Ahmet Işın Saygun Prof Dr Metin Aydoğan Prof Dr Mehmet Omurtag bu alandaki çalışmalara gerek yayınlarıyla gerekse verdikleri derslerle katkıda bulunmuştur Alanlarında derin bilgi birikimine sahip bu değerli öğretim üyeleri yalnızca teorik bilgiyi aktarmakla kalmayıp aynı zamanda yenilikçi düşünce ve analitik çözümleme becerilerini kazandırarak mühendislik eğitimine katkılarda bulunmuşlardır Onların özverili çalışmaları sonlu elemanlar yönteminin ülkemizde ilerlemesinde önemli bir rol oynamıştır İTÜ deki bu misyon günümüzde sonlu elemanlar yönteminin Prof Dr Tülay Aksu Özkul Prof Dr Nihal Eratlı Doç Dr Ülkü Hülya Çalı

Sonlu elemanlar yöntemi mühendislik alanında karmaşık problemlerin çözümlenmesinde kullanılan en yaygın analiz yöntemidir Elinizdeki bu kitapta sonlu elemanlar yönteminin SEY yapı mühendisliği alanındaki uygulamalarına yönelik temel ilkeler açıklanmış farklı yapısal elemanların analizinde SEY nin nasıl kullanıldığı örnek problemler ve çözüm yöntemleri ile detaylı bir şekilde ele alınmıştır Sonlu elemanlar yöntemi bilgisayar yazılımları kullanımı gerektirdiğinden kitaptaki örneklerin birçoğu günümüzde yaygın olarak kullanılan SAP2000 ANSYS gibi yazılımlar ile çözülmüştür Ayrıca bilgisayar yazılımlarının sonlu elemanlar yöntemini nasıl uyguladığının anlaşılması için kitapta kullanılan sonlu elemanların formülasyonu Python programlama dili ile geliştirilmiş özel kodlar şeklinde verilmiştir Kitapta verilen Python program kodları anlaşılırlığı artırmak için optimize edilmeden olabildiğince açık olarak verilmiştir Yazar İTÜ de sonlu elemanlar yönteminin öğretilmesinde ve geliştirilmesinde büyük emek harcayan değerli akademisyenlerin rolünü takdirle anmaktan onur duymaktadır İTÜ de bu alandaki çalışmalar dünyadaki sonlu elemanlar yöntemi gelişimine paralel ilerlemiştir Prof Dr Adnan Çakıroğlu Prof Dr Nahit Kumbasar Prof Dr Kemal Özden Prof Dr Yalçın Aköz bu alanda öncü çalışmalarda bulunmuştur Sonrasında Prof Dr Ahmet Işın Saygun Prof Dr Metin Aydoğan Prof Dr Mehmet Omurtag bu alandaki çalışmalara gerek yayınlarıyla gerekse verdikleri derslerle katkıda bulunmuştur Alanlarında derin bilgi birikimine sahip bu değerli öğretim üyeleri yalnızca teorik bilgiyi aktarmakla kalmayıp aynı zamanda yenilikçi düşünce ve analitik çözümleme becerilerini kazandırarak mühendislik eğitimine katkılarda bulunmuşlardır Onların özverili çalışmaları sonlu elemanlar yönteminin ülkemizde ilerlemesinde önemli bir rol oynamıştır İTÜ deki bu misyon günümüzde sonlu elemanlar yönteminin Prof Dr Tülay Aksu Özkul Prof Dr Nihal Eratlı Doç Dr Ülkü Hülya Çalık Karaköse Doç Dr Murat Yılmaz tarafından lisans ve yüksek lisans dersleri olarak verilmesi şeklinde başarılı şekilde devam ettirilmektedir Kitap yazım ve çizim işlerinin tamamı yazar tarafından yapılarak yoğun bir çalışma süreci sonucu oluşturulmuştur Bunu göz önüne alarak okuyucuların olası eksiklikleri hoşgörü ile karşılayacağı ümit edilmektedir Okuyucuların yazara iletecekleri her türlü eleştiri ve görüş yazar tarafından memnuniyetle karşılanacak ve ileriki baskılar için önemli katkılar olarak değerlendirilecektir Yazar kitabın yazımı sürecinde görüşlerine başvurduğu Prof Dr Engin Orakdöğen Prof Dr Konuralp Girgin Doç Dr Cüneyt Vatansever Dr Yavuz Durgun ve Dr Günhan Aksoylu ya teşekkürlerini sunmaktadır Yazar kitabın konu ile ilgilenen öğrencilerin ve uygulamadaki mühendislerin bilgi birikimlerine katkı sağlayacak bir kaynak olmasını umut etmektedir Kutlu Darılmaz İstanbul 2025